Guiche délicieuse aux courgettes et au basilic, sans pâte

Ingrédients (pour 4 personnes) :
2 courgettes moyennes râpées ;
1 petit oignon finement haché ;
1 cuillère à soupe d’huile d’olive ou de beurre ;
4 gros œufs ;
250 ml de lait (ou de crème pour une texture plus onctueuse) ;
250 ml de fromage râpé (cheddar, mozzarella ou un mélange) ;
60 ml de feuilles de basilic frais hachées ;
1/2 cuillère à café de poudre d’ail ; 1/2 cuillère à
café de sel ;
1/4 de cuillère à café de poivre noir ;
2 cuillères à soupe de parmesan râpé (facultatif, pour la garniture).